একটি ডাবল ইন্টিগ্রাল এবং একটি পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রাল মধ্যে একটি নির্দিষ্ট পার্থক্য আছে?


উত্তর 1:

সারফেস ইন্টিগ্রাল বনাম আইটেড ইন্টিগ্রাল:

একটি সারফেস ইন্টিগ্রাল এমন এক অবিচ্ছেদ্য যেখানে ফাংশনটি এমন একটি পৃষ্ঠের সাথে সংহত বা মূল্যায়ন করা হয় যা উচ্চ মাত্রিক স্থানের উপরে থাকে A একটি (দ্বিমাত্রিক) পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্য একটি উচ্চ-মাত্রিক স্থানে এমবেড করা একটি আকারে নেওয়া হয়।

তবে ইটারেটেড ইন্টিগ্রালে এটি কেবল একটি ফাংশনকেই সংহত করতে পারে যা সীমিত 2D অঞ্চল দ্বারা সীমিত থাকে

অর্থাৎ, আমরা একটি গোলকের পৃষ্ঠকে অবিচ্ছেদ্যভাবে নিতে পারি, বলি, তিনটি মাত্রায়। আমরা গোলকের তলটিকে কোনও প্লেনে মানচিত্র করতে পারি এবং তারপরে অবিচ্ছেদ্য নিতে পারি।

আর একটি উদাহরণ 3 ডি কিউব হবে। স্পষ্টতই, ঘনক্ষেত্রের পৃষ্ঠটি 2 ডি প্রকৃতির, তবে কিউব নিজেই 3 ডি স্পেসে এম্বেড থাকে। আমরা এই পৃষ্ঠের উপর অবিচ্ছেদ্য নিতে পারি।

আপনি এভাবে পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্যতা সম্পর্কে ভাবতে পারেন: যদি আমরা কোনও আকারকে সমতল করার জন্য কোনও আকারের পৃষ্ঠকে ফাঁকে, প্রসারিত করতে, ঘোরানো, কাটা করতে এবং বাঁকতে পারি, তবে আমরা পৃষ্ঠের আকৃতির সীমানার উপরে অবিচ্ছেদ্যভাবে নিতে পারি। তবে আকারটি নিজেই অগত্যা সমতল নয় এবং অবশ্যই দ্বিমাত্রিক নয়।

একটি পরিমিত ইন্টিগ্রালটি কেবলমাত্র দ্বিমাত্রিক স্থানে নেওয়া যেতে পারে। অর্থাৎ, আমরা কেবল এটি 2D স্পেসের অঞ্চলে নিয়ে যেতে পারি। বর্গক্ষেত্র, বা একটি বৃত্ত, বা কোনও অভ্যন্তরের সাথে অন্য কোনও আকারের মতো।

সুতরাং, একটি পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্য একটি পুনরাবৃত্ত অবিচ্ছেদ্য হতে পারে যদি আমরা পৃষ্ঠটিকে দ্বি-মাত্রিক স্থানে মানচিত্র (প্রসারিত, ঘোরানো, ইত্যাদি) করতে পারি এবং বিপরীতভাবে, আমরা যদি দুটি মাত্রিক স্থানকে একটি উচ্চতর মাত্রিক স্থানে মানচিত্র করতে পারি, তবে আমরা পৃষ্ঠটি অবিচ্ছেদ্য নিতে পারি! যথেষ্ট পরিমাণে পৃষ্ঠ এবং আকারের জন্য এটি উভয়ের মধ্যে একটি দুর্দান্ত প্রতিসাম্য (যদিও আমরা ব্যতিক্রমী ক্ষেত্রে বিবেচনা করলে পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্য আরও সাধারণ হয়)।

যখন পৃষ্ঠটি নির্বিচারে প্লেন অঞ্চলে প্রক্ষেপণ করা হয় তখন পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্যগুলি আইট্রেটেড অবিচ্ছেদে পরিণত হয়।


উত্তর 2:

প্যাথলজিকাল ক্ষেত্রে সংহতকরণের ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণ স্বরূপ

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, তবে ক্রমটি বিপরীত হলে অবিচ্ছেদ্য পরিবর্তনগুলি স্বাক্ষর করে। (প্রদত্ত যে অখণ্ড অস্তিত্ব আছে এবং এটি শূন্য নয়, তবে এটি স্পষ্টতই স্পষ্ট যে সাইনটি পরিবর্তিত হবে — বিনিময়

xx

এবং

yy

।)

তবে ডাবল ইন্টিগ্রাল উপস্থিত থাকলে এই ধরণের জিনিসটি ঘটে না। সুতরাং ডাবল ইন্টিগ্রাল অবশ্যই সাবটলি পৃথক হতে হবে। ডাবল ইন্টিগ্রালগুলি একক ইন্টিগ্রালগুলিতে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় the ডোমেনটিকে উপ-বিভাগ করুন এবং টুকরোগুলি আকারে শূন্য হতে দিন। একটি পুনরাবৃত্তি অবিচ্ছেদ্য অনুরূপ তবে ডোমেনটি আয়তক্ষেত্রের গ্রিডে বিভক্ত এবং প্রস্থ এবং উচ্চতাগুলি আলাদাভাবে শূন্য থাকে এবং আদেশের বিষয়টি গুরুত্বপূর্ণ।

আপনি যদি লেবেসগু ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কে জানেন তবে ফুবিনি-টোনেলি উপপাদগুলি সন্ধান করুন।